Les urnes de Pòlya sont des processus aléatoires très simples à définir, qui interviennent dans des modéles de l'algorithmique. Dans le processus à deux couleurs, on prend une urne contenant des boules noires et rouges. On tire une boule au hasard dans l'urne, et on l'y repose après avoir noté sa couleur. Selon la couleur tirée, on ajoute dans l'urne tant de boules noires et tant de boules rouges. On obtient ainsi une nouvelle composition. Le processus consiste à itérer ce procédé en utilisant toujours la même règle de remplacement. Lorsque le nombre de tirages tend vers l'infini, la composition de l'urne fait émerger de nouvelles mesures de probabilité. Toutes les questions sur les propriétés de ces mesures sont permises. On montrera comment ces lois se caractérisent par des équations de point fixe dans des espaces de mesures, ouvrant le champ à l'analyse de Fourier. On peut aussi plonger l'urne en un processus à temps continu ; le système différentiel que satisfont les transformées de Fourier des lois limites de cet alter ego trouvent cette fois une résolution exacte en termes d'inverses d'intégrales abéliennes sur des courbes de Fermat.
