L’inégalité de Li-Yau est une borne universelle sur le laplacien du logarithme d’une solution positive de l’équation de la chaleur, sur une variété riemannienne de dimension donnée et de courbure de Ricci positive. Cette inégalité a été étendue, sous diverses formes, au cas où la courbure est minorée par une constante non nulle. Elle est un outil efficace pour l’obtention d’inégalités d'Harnack sur la solution. Nous ferons le point sur les résultats classiques sur cette question, et montrerons comment le critère de courbure-dimension de D. Bakry et M. Emery et le calcul Gamma 2 permettent d’obtenir simplement de nouvelles bornes améliorant les bornes classiques.
Cet exposé repose sur un travail écrit avec D. Bakry et I. Gentil.
