Sur l’amélioration de la log-concavité pour les mesures invariantes par rotation et les ensembles convexes symétriques.

Nous montrons que l’inégalité (B) pour les dilatations, ainsi que l’inégalité de Brunn-Minkowski dimensionnelle (conjecture de Gardner-Zvavitch), pour les ensembles convexes symétriques sont vraies pour toute mesure invariante par rotation log-concave ; en fait, une condition bien plus faible que la log-concavité suffit. Ces résultats étendent sensiblement le cas gaussien connu auparavant. Comme dans le cas gaussien, la preuve repose des inégalités spectrales. Nous établissons en particulier une nouvelle inégalité de Poincaré à poids optimale pour toute mesure (log-concave par rapport à une mesure) invariante par rotation. Il s’agit d’un travail en commun avec Liran Rotem (Technion).