Quelques résultats et beaucoup de questions sur les fonctions ``à saut purs''

Les fonctions ``à sauts purs''  interviennent  en probabilité (processus stochastiques), en analyse (solutions de l'équation de Burgers), en analyse harmonique (séries de Haar) ou encore à l'interface entre analyse et  théorie analytique des nombres (séries de Davenport). Le but de l'exposé est de présenter  une approche synthétique de ces fonctions puis de se focaliser  sur leurs propriétés de régularité ponctuelle, en montrant comment  (dans le cas déterministe)  ces propriétés  se ramènent à des questions d'approximation diophantienne. Nous présenterons en particulier des résultats récents obtenus en collaboration avec Lingmin Xiao et Qian Zhang.