J'expliquerai comment le théorème de Helly en convexité combinatoire peut être dérivé du lemme de HEX (équivalent au théorème de point fixe de Brouwer). Cette preuve est très élémentaire et se généralise aux différentes versions topologiques du théorème de Helly.
Un théorème de chevauchement est une sorte de principe des tiroirs en topologie combinatoire. Étant donné X un complexe simplicial de dimension d et Y l'espace réel de dimension d, on dit que X satisfait un théorème de chevauchement si, pour toute application continue de X dans Y, il existe un point contenu dans l'image d'un "grand nombre" de faces de X.
Après un survol des résultats de chevauchement et de leur rapport avec certains analogues en géométrie (convexe, riemannienne), j'expliquerai comment la preuve précédente, et par conséquent le théorème de Helly et ses variantes, peuvent être interprétés comme des théorèmes de chevauchement. Enfin, je présenterai des questions ouvertes et liens avec la théorie de régularité des hypergraphes, les expanseurs en grande dimension et la percolation de premier passage.
Basé sur un travail en commun avec Andreas Holmsen.
