Nous allons nous intéresser aux variables aléatoires de la forme
Pn((Xi)i≥1), où : (i) (Pn)n≥1 est une suite de polynômes multivariés,
chacun avec un nombre possiblement dénombrable de variables ; (ii) il
existe une constante D≥1 telle que pour tout n≥1, le degré de Pn est
borné par D ; (iii) (Xi)i≥1 est une suite de variables aléatoires
indépendantes et identiquement distribuées, chacune ayant une moyenne
nulle, une variance 1 et des moments finis à tout ordre.
Nous présenterons d'abord différents contextes où ces objets
apparaissent naturellement: décomposition de Wiener pour des
fonctionnelles d'un champ Gaussien, décomposition de Walsh pour des
fonctions booléennes ou encore la décomposition Anova de Hoeffding puis
donnerons quelques exemples d'utilisation récents de ces objets en
physique statistique, théorie des graphes, géométrie aléatoire ou encore
sciences sociales.
L'objectif principal de l'exposé est de présenter la résolution d'une
question ouverte dans ce domaine de recherche consistant à classifier
toutes les limites possibles en loi pour ce type de variables aléatoires.
(Travail joint avec Ronan Herry et Dominique Malicet)
