Comment placer isométriquement un globe terrestre dans une balle de ping-pong ?

Autrement dit, il s'agit de plonger isométriquement une sphère unité dans une boule de rayon arbitrairement petite. Ceci est impossible en classe $C^2$ car la courbure de Gauss fournit une obstruction. En revanche, un tel plongement existe en classe $C^1$. Ce résultat contre-intuitif date des années 50, il est dû à Nash et Kuiper. Nous expliquerons comment, avec la technique de l'intégration convexe de Gromov, on peut construire un tel plongement. Nous en présenterons des images.