Les cinq cours, qui auront tous lieu à l’UPEC (site de Créteil), sont programmés comme suit :
- mercredi 17 Mai : une séance de 10h à 12h en P2 P12 ;
- vendredi 26 Mai : deux séances de 10h30 à 12h30 puis de 14h30 à 16h30 en P1 018 ;
- vendredi 2 Juin : deux séances de 10h30 à 12h30 puis de 14h30 à 16h30 en P2 P12.
Précis : Comme l'écrivait Schmidt dans sa liste de problèmes ouverts de 1983, les résultats classiques de géométrie des nombres concernent un convexe et un réseau à la fois, tandis qu'en approximation diophantienne on a affaire à des familles paramétrées de convexes et de réseaux. Il suggérait l'étude de tous leurs minimas en fonction des paramètres en jeu, non pas seulement du premier ou du dernier minimum comme on le fait le plus souvent. La géométrie paramétrique des nombres initiée par Summerer et lui dans des articles de 2009 et 2013 réalise ce programme pour une famille importante de convexes à un paramètre qui intervient naturellement dans les questions d'approximation rationnelle d'un n-uplet X de nombres réels. Elle fournit une description combinatoire, à des fonctions bornées près, des logarithmes des minimas de ces familles en fonction du paramètre en question. En d'autres termes, elle décrit l'ensemble des comportements possibles de ces minimas pour l'ensemble des points X. Elle ramène ainsi à un problème combinatoire le calcul du spectre d'un k-uplet donné d'exposants d'approximation diophantienne, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les valeurs de ces k-uplets pour tous les points X existants. Elle permet aussi l'étude de l'approximation diophantienne avec contraintes angulaires. La liste de ses applications est largement ouverte en raison du point de vue nouveau et systématique qu'elle propose.
Le but du cours est de présenter cette théorie en l'illustrant par quelques applications, et de donner un aperçu des techniques de bases en commençant par des rappels de géométrie des nombres classique et d'algèbre multi-linéaire. On présentera le résultat principal de la théorie qu'on démontrera dans une situation particulièrement simple mais utile pour l'approximation avec contraintes angulaires. On donnera aussi des exemples simples de calcul de spectres d'exposants diophantiens, en particulier en dimension 3 où ils sont tous semi-algébriques et calculables. On ajoutera d'autres applications selon le temps disponible, comme l'avancée récente de Badziahin et Schleischitz sur le problème de Wirsing.
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Les notes du cours sont disponibles sur la page personnelle de Damien Roy : https://mysite.science.uottawa.ca/droy/cours.html
