Nous allons démontrer le théorème de von Renesse-Sturm, celui-ci montre que la distance de Wasserstein contracte le semigroupe de la chaleur si et seulement si la courbure de l'opérateur au sens de Bakry-Emery est positive. La nouvelle preuve de ce résultat est très simple, elle est basée sur la commutation du semigroupe de la chaleur avec le semigroupe d'Hamilton-Jacobi. De façon plus générale, nous montrons une inégalité isopérimétrique gaussienne permettant à la fois de montrer une inégalité de Harnack et aussi la propriété de commutation des deux semigroupes. Les résultats présentés proviennent d'un article écrit en collaboration avec D. Bakry et M. Ledoux.
