Une aire centro affine pour les polytope: un dialogue entre géométrie de Funk et inégalités géométriques des convexes

Le but de cet exposé sera de présenter quelques résultats obtenus avec D. Faifman et C. Walsh concernant les géométries de Funk des convexes. Nous avons essentiellement étudié la croissance volumique de ces géométries, ce qui nous a mené à énoncer deux conjectures qui impliquent toute une série de conjectures liées aux convexes en général et aux polytopes convexes en particulier. Cela nous mènera à définir une nouvelle famille d'invariants affines associés aux convexes. En particulier, nous verrons que nous avons mis en évidence l'existence d'un invariant associé aux polytopes convexes dont j'aurai à coeur de vous justifier qu'il est l'analogue pour ceux-ci de l'aire centro-affine.