L'étude d'inégalités géométriques ou fonctionnelles (optimales) par transport de mesure en courbure non nulle et dimension finie demeure un territoire mystérieux, ou en tout cas assez vierge. Dans cet exposé nous verrons comment, en utilisant le transport monotone (aka optimal aka de McCann) sur la sphère, ou plus généralement sur une variété compacte à courbure strictement positive, on peut obtenir une inégalité de transport entre une entropie et un coût naturellement liés à la géométrie de la sphère. Nous montrerons que cette inégalité de transport contient, par linéarisation, l'estimée spectrale optimale, c'est-à-dire l'inégalité de Poincaré avec la bonne dépendance en la dimension.
