Une équation diophantienne est une équation polynomiale à coefficients entiers, dont on recherche les solutions entières. Une équation diophantienne exponentielle est une équation diophantienne dans laquelle des exposants peuvent également être inconnus. Parmi les exemples, on peut citer l’équation de Fermat x^n + y^n = z^n et l’équation de Catalan x^m - y^n = 1. Nous commencerons par une présentation de la théorie de Baker des formes linéaires de logarithmes des nombres algébriques et de certaines de ses applications permettant d’obtenir des bornes supérieures pour les solutions de familles classiques d’équations diophantiennes. À la différence des théorèmes de Roth et de Schmidt, la théorie de Baker s’applique également aux équations diophantiennes exponentielles : elle a permis à Tijdeman de prouver en 1976 que l’équation de Catalan n’a qu’un nombre fini de solutions. Plus récemment, en 2006, Bugeaud, Mignotte et Siksek ont établi que 1, 8 et 144 sont les seules puissances parfaites de la suite de Fibonacci. Nous conclurons en mentionnant plusieurs autres questions diophantiennes impliquant des puissances parfaites, des ensembles d’entiers dont les développements en base b ont peu de chiffres, et des ensembles d’entiers composés uniquement d’un nombre fini de nombres premiers (donnés). Par exemple, l’écriture binaire de tout entier n suffisamment grand composé uniquement des nombres premiers 3, 5, 7 et 11 comprend au moins (log log n) / (log log log n) chiffres 1.
