Dans les années 1980, William Thurston a montré une célèbre caractérisation des fonctions rationnelles postcritiquement finis. En termes simples, ce théorème donne un critère qui permet de déterminer si une application continue définie sur la 2-sphère est équivalente (au certain sens combinatoire et dynamique) à une fonction rationnelle définie sur la sphère de Riemann. Ce résultat est à la base d'un domaine de la dynamique complexe, appelé théorie de Thurston, qui analyse le comportement dynamique des revêtements ramifiés postcritiquement finis et les utilise pour étudier la dynamique des fonctions rationnelles.
En même temps, dans la dynamique complexe, on s'intéresse aussi à des familles de fonctions holomorphes à valeurs dans la sphère de Riemann, mais qui ne sont pas définies partout sur celle-ci. Par exemple, les fonctions méromorphes transcendantes sont des fonctions holomorphes définies partout sauf en un seul point. L'objectif de cet exposé est de montrer comment la théorie de Thurston peut être étendue à ce contexte. En particulier, je vais expliquer comment le théorème de caractérisation de Thurston peut être généralisé à certaines familles larges de fonctions qui ne sont pas définies sur toute la sphère.
