Une matrice de Hadamard est une matrice carrée à coefficients {1,-1} et à lignes orthogonales deux à deux. La conjecture de Hadamard (1893) postule qu'il existe des matrices de Hadamard de tout ordre n divisible par 4. Les trois derniers cas ouverts sous 1000 sont n = 668, 716 et 892.
Au début des années 1970, Marrero et Butson ont introduit la notion plus faible de matrices de Hadamard m-modulaires, pour m entier donné. Ce sont toujours des matrices carrées à coefficients {1,-1}, mais à lignes orthogonales modulo m seulement. Le cas m = 0 correspond aux vraies matrices de Hadamard.
La conjecture classique de Hadamard implique une version modulaire, à savoir que pour tout m, il existe des matrices de Hadamard m-modulaires de tout ordre n divisible par 4. La difficulté de cette version plus faible augmente très fortement avec m. Triviale pour m =4, le record actuel, datant de 2001, est m = 32.
Une observation simple mais cruciale est que, pour tout module m supérieur ou égal à 2, les matrices de Hadamard m-modulaires d'ordre n < m sont de vraies matrices de Hadamard. La conjecture classique est donc équivalente à la validité de ses versions m-modulaires pour toute famille infinie de modules m, par exemple pour les puissances de 2.
Dans cet exposé, nous rappellerons quelques constructions de matrices de Hadamard, puis nous présenterons des résultats partiels tout récents dans le cas ouvert m = 64.
