En 1929, Mahler a introduit une méthode de transcendance pour étudier les valeurs aux points algébriques de certaines fonctions analytiques, comme $\sum_n z^{2^n}$ ou $\sum_n \lfloor \omega n\rfloor z^n$, où $\omega$ est un nombre réel quadratique.
Cette méthode a connu un regain d'intérêt depuis les années 80, pour ces liens avec la théorie des automates finis. L'un des principaux objectifs de la méthode a été atteint il y a une dizaine d'année. Il s'agissait d'établir la transcendence des nombres automatiques irrationnels, ces nombres dont l'écriture dans une certaine base peut être produite par un automate fini. Ce résultat avait déjà été établi en 2007 grâce à des techniques reposant sur le théorème du sous-espace p-adique. Tout récemment, nous avons obtenu un résultat bien plus fort : l'indépendance algébrique de nombres irrationnels qui sont automatiques dans des bases multiplicativement indépendantes.
L'objectif de cet exposer est de présenter la méthode de Mahler en expliquant pourquoi elle permet d'obtenir de tels résultats d'indépendance algébrique. Nous effectuerons également une comparaison avec les méthodes s'appuyant sur le théorème du sous-espace et discuterons les limites et avantages de chacunes.
