Intégrabilité faible des Hamiltoniens dans le tore et rigidité

Nous démontrons que toute métrique de Finsler $k$-basique dans le tore de dimension $2$, telle que son fibré unitaire admet un feuilletage Lagrangien invariant de classe $C^2$ est en fait plate. Ce résultat est lié à la conjecture de Hopf pour les métriques de Finsler $k$-basiques sans points conjugués. Cependant, la conjecture de Hopf n´est pas vraie pour les métriques de Finsler sans points conjugués dans le tore d´après les contre-exemples de Busemann.