Je présenterai l’étude du spectre de basse énergie du Laplacien magnétique semi-classique dans le plan, lorsque le champ magnétique s’annule de manière non dégénérée le long d’une courbe lisse et non compacte. Dans ce cadre, l’existence d’un spectre discret n’est pas automatique, puisque l’ensemble d’annulation s’étend jusqu’à l’infini. Sous des hypothèses géométriques et de confinement appropriées, je montrerai que la dérivée transverse du champ magnétique le long de cette courbe joue le rôle d’un potentiel effectif confinant, ce qui conduit à l’existence d’un spectre discret dans des petites fenêtres.
Les fonctions propres correspondantes se concentrent au voisinage de l’ensemble d’annulation et peuvent être microlocalisées dans une région compacte de son espace des phases. À l’aide du calcul pseudodifférentiel semi-classique à symboles opératoriels et de projecteurs superadiabatiques, le problème spectral se réduit alors à une famille finie d’hamiltoniens effectifs unidimensionnels associés aux courbes de dispersion de l’opérateur de Montgomery. Cette réduction fournit des développements asymptotiques complets des valeurs propres de basse énergie. Elle permet notamment de retrouver et d’affiner les asymptotiques connues dans le régime semi-excité et conduit, loin des énergies critiques, à des règles de quantification de Bohr-Sommerfeld valables à tout ordre.
