Conjecture de la variance dans les boules de Schatten

Nous présentons des résultats en grande dimension sur la norme Hilbert-Schmidt d’une matrice uniformément distribuée dans la boule unité au sens de la $p$-norme des valeurs singulières. Nous nous appuyons sur la connexion avec l’analyse spectrale des $\beta$-ensembles en adaptant notamment certains résultats de fluctuation dus à Bekerman, Leblé et Serfaty. Lorsque $p>3$, cela nous permet d’établir une version forte de la conjecture de la variance restreinte aux $p$-boules de Schatten auto-adjointes. Travail en commun avec Matthieu Fradelizi, Olivier Guédon et Pierre-André Zitt.