On s'intéresse au processus aléatoire $X_n$ induit par l'action de la marche aléatoire sur le (semi)groupe des transformations affines de l'espace euclidien $\mathbb{R}^d$, c'est-à-dire $$X_n=A_nX_{n-1 }+B_n $$ où le $(A_n,B_n)\in M(d)\times \mathbb{R}^d $ est un i.i.d. séquence. Ce processus a été largement étudié pour ses nombreuses applications et pour son intérêt dans l'étude des probabilités sur les structures algébriques. En fait ses propriétés sont strictement liées au comportement du produit de matrices aléatoires $A_n\cdots A_1$. Le processus affine aléatoire est assez bien compris lorsque les matrices $A_n$ contractent $\mathbb{R}^d$ (c'est-à-dire $\|A_n\cdots A_1\|\to 0$) ), mais nombreuses questions sont encore ouverts dans le cas critique où les matrices $A_n$ ne contractent ni ne dilatent, c'est-à-dire lorsque l'exposant de Lyapunov est nul $$\lim_{n\to\infty} \frac{\log \|A_n\cdots A_1\|}{n}= 0.$$ Nous allons présenter qui assurent que le processus $X_n$ ne s'échappe pas à l'infini et prouver que la chaîne est récurrente dans plusieurs situations différentes et en particulier lorsque les $A_n$ sont des matrices inversibles ou bien elles sont de rang 1.
