Lorsque l’on s'intéresse à une marche aléatoire à support fini sur un arbre infini, il est naturel de se demander quel comportement aura la probabilité que ma marche aléatoire se trouve dans un ensemble donné, à un temps donné. Lors de cet exposé je présenterai une méthode permettant d'obtenir un développement asymptotique au sens de Poincaré de la probabilité de passage d'une telle marche aléatoire, dans une partie finie de l'ensemble des sommets de l'arbre, étendant ainsi un résultat dû à S.P.Lalley (Ann. Probab. 21 (1993), no. 4, p.2087-2130.). Plus précisément si A désigne un sous-ensemble fini de l'ensemble des sommets de l'arbre, alors il existe des constantes réelles $C_A$, $(c_{A,k})_k$ telles que la suite de probabilités $\mathbb{P}^x(X_n \in A)$, que la marche aléatoire $X_n$ basée en un sommet $x$, soit dans $A$ au temps $n$ admet un développement asymptotique au sens de Poincaré de la forme :$$\mathbb{P}^x(X_n\in A)\sim_\infty \frac{C_A}{R^n n^{3/2}}\left( 1 + \sum_{k\geq 1} \frac{c_{A,k}}{n^{k/2}}\right). $$ La méthode employée emprunte des connaissances issues de la géométrie algébrique, de l'analyse complexe et de la combinatoire énumérative. Nous la présenterons sur l'exemple d'une marche aléatoire simple dans un arbre régulier.
