Tout d’abord, nous considérons l’EDS $dX_t = b(t,X_t) dt + dB_t$, où $b$ est un drift singulier (e.g. une distribution) et $B$ est un mouvement brownien fractionnaire. On présentera quelques résultats récents d'existence et d'unicité pour cette équation, en donnant des critères reliant la régularité de $b$ et le paramètre de Hurst $H$ du brownien fractionnaire.
Ensuite, nous étudions la régularité temps-espace de la densité de la solution dans des espaces de Lebesgue-Besov. En exploitant cette régularité, nous démontrons l’existence de solutions pour des équations de McKean-Vlasov de la forme $dY_t = \mu_t \ast b(t,Y_t) + dB_t$, où $\mu_t$ est la loi de la solution $Y_t$, pour un drift $b$ qui peut être plus singulier que dans le cas linéaire. Enfin, nous discutons l’unicité pour cette équation de McKean-Vlasov singulière.
Travail en collaboration avec L. Anzeletti (TU Wien), L. Galeati (EPFL) et E. Tanré (Nice).
