Un nouveau théorème limite pour les marches aléatoires conditionnées à rester positives

Considérons une marche aléatoire $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ avec des incréments $X_i$ réels, indépendants et identiquement distribués, de moyenne nulle et variance finie. Supposons que $X_1$  possède un moment d'ordre $2 + \delta$. Pour tout $x\geq 0$, soit $\tau_x = \inf \left\{ k\geq 1: x+S_{k} < 0 \right\}$ le premier temps où la marche aléatoire $x+S_n$ quitte la demi-droite $[0,\infty)$. Nous étudions le comportement asymptotique des probabilités $\mathbb P (\tau_x >n)$ et $\mathbb{P} \left( x + S_n \leq t, \tau_x > n \right)$ et établissons quelques bornes de type Berry-Esseen.