Décomposer un nombre comme somme de quatre carrées

Le problème d'écrire un nombre entier comme somme de quatre carrés est une question qui date du XVIIe siècle. Éminemment arithmétique, il a connu de nombreuses preuves et généralisations. Toutefois, ce sont souvent des méthodes ad hoc, ne permettant pas de comprendre fondamentalement la structure des nombres entiers, et ne répondant pas à des problèmes un peu plus précis : combien y a-t-il de telles écritures ? comment sont-elles réparties ? que se passe-t-il pour trois carrés ? etc. Nous présenterons de manière très élémentaire une méthode du siècle suivant, qui se révèle aujourd'hui encore être l'un des outils les plus puissants et omniprésents de la théorie des nombres moderne : lorsque l'on regarde la série génératrice du nombre des solutions au problème, des formes automorphes apparaissent, et tous les résultats tombent sans efforts !