Géométrie métrique discrète et remplissages minimales du cercle

Soit $C$ un cercle Riemannien de longueur $2L$. La conjecture de l'aire de remplissage affirme que toute surface capable de remplir $C$ de manière isométrique (ça veut dire, sans réduire la distance entre les points de $C$) a une aire supérieure ou égale à celle d'une hémisphère de périmètre $2L$. Je vais parler de cette conjecture et le lien avec sa version discrète suivante: si $C_{2n}$ est le graphe cycle de longueur $2n$, alors toute surface discrète à cellules carrées capable de remplir $C_{2n}$ de manière isométrique a au moins $n(n-1)/2$ cellules.