Racines de polynômes aléatoires et gaz de Coulomb

L'étude des polynômes aléatoires a été initiée par Kac, Littlehood et Offord dans les années 1930. Ils s'intéressaient au nombre de racines réelles de polynômes aléatoires. Les techniques et objets des matrices aléatoires ont permis une nouvelle approche de l'étude des racines des polynômes aléatoires. Nous verrons comment se répartissent les racines de polynômes aléatoires dans divers modèles et nous nous concentrerons sur le cas des polynômes de Kac où on peut calculer explicitement la loi des racines. Les racines des polynômes de Kac forment un gaz de Coulomb dans C avec confinement non linéaire, et l'étude de ce gaz nous permettra d'obtenir un principe de grandes déviations pour la répartition des racines. Ces résultats sont très proches de résultats de grandes déviations obtenus par Ben Arous et Guionnet ou bien Ben Arous et Zeitouni.