Une $L$-matrice infinie positive est une matrice de dimension infinie définie par une suite $(a_n)_{n \geq 0}$ de nombres réels positifs et ayant la forme
$A=\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & \dots \\ a_1 & a_1 & a_2 & a_3 & \dots \\ a_2 & a_2 & a_2 & a_3 & \dots \\ a_3 & a_3 & a_3 & a_3 & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix}.$
Ces matrices ont été introduites en raison de leur connection avec les espaces de Dirichlet pondérés. Dans cette présentation, plusieurs conditions nécessaires et suffisantes pour que la matrice $A$ définisse un opérateur borné seront présentées. De plus, un intérêt particulier sera porté sur la $L$-matrice de Hilbert $H_s=[a_{ij}(s)]$, où $a_{ij}(s) = 1/(\max\{i,j\}+s)$ et $s>0$. Il sera entre autre montré que sa norme d'opérateur $\|H_s\|_{\ell^2\to\ell^2}$ est constante pour tout $s\geq s_0$, où le point critique $s_0$ était inconnu jusqu'à récemment.
