Conjecture de Mahler et conjecture de l’hyperplan d’après Klartag.

Dans cet exposé, on présente un résultat récent de Bo’az Klartag dans lequel il montre qu’une forme forte de la conjecture de l’hyperplan permettrait de montrer la conjecture de Mahler pour les convexes non (nécessairement) symétriques. Plus précisément, si l’on savait montrer que, parmi tous les corps convexes, la constante d’isotropie est maximale pour le simplexe alors cela entraînerait que, parmi tous les convexes, le produit volumique est minimal pour le simplexe. La démonstration utilise des perturbations locales du convexe par les transformations projectives. On présentera également l’état de l’art sur ces deux conjectures.