Dans les années 60, L. Green a montré que le rayon d'injectivité d'une variété à courbure scalaire supérieure
à n(n-1) est majoré par π, avec égalité uniquement pour la sphère standard. Une question naturelle est alors de se demander
si une variété à courbure scalaire supérieure à n(n-1) et rayon d'injectivité presque égal à π ressemble à la sphère.
Je montrerai qu'en dimension 3, si une variété à courbure scalaire plus grande que n(n-1) a un rayon d'injectivité supérieur
à 2π/3 alors c'est un quotient de S3 par un groupe cyclique de cardinal impair. La preuve utilise surfaces minimales et mu-bulles.
En dimension supérieure, ces méthodes s'appliquent pour donner de meilleures bornes sur le rayon d'injectivité des métriques
à courbure scalaire positive sur S2 x Tk x Rl avec l≤2 et 2+k+l≤7.
