Dans cet exposé, nous étudierons différents modèles d'urnes en partant de celui de Pólya, puis en généralisant au fur et à mesure. Pour simplifier, nous considèrerons le cas à deux couleurs. L'idée générale est la suivante : partant d'une certaine composition initiale, en définissant la loi des tirages dans l'urne et la règle de remplacement des boules, que peut-on dire, après une infinité de tirages, sur la composition asymptotique ?
Les urnes de Pólya considère un tirage uniforme dans l'urne avec remise et ajout d'une boule de la même couleur que celle tirée. La loi de la composition asymptotique est alors la loi bêta dépendant de la composition initiale. Nous étudierons par la suite des variantes où l'on modifiera de façon déterministe la règle d'ajout des boules (sans remise, ajout d'une couleur différente ou de plusieurs couleurs, de plusieurs boules, etc.)
Nous étudierons ensuite le cas d'ajout stochastique de boules dans cette urne avec tirage uniforme. Ceci a été motivé par des applications en essais cliniques et en finance, et peut être résolu plus efficacement grâce à des algorithmes stochastiques sur la dynamique des proportions de boules dans l'urne.
Nous terminerons cet exposé par une dernière généralisation : le tirage ne sera plus uniforme, mais sera modifié par une fonction convexe ou concave. Ceci nous permettra d'exhiber une transition de phase (dans le cas convexe) passant d'un équilibre vers plusieurs (dont le nombre dépend de la fonction).
