1) The Brunn-Minkowski and Prékopa-Leindler inequalities admit a variety of proofs that are inspired by convexity. Nevertheless, the former holds for compact sets and the latter for integrable functions so it seems that convexity has no special signficance. On the other hand, it was recently shown that the Brunn-Minkowski inequality, specialized to convex sets, follows from a local stochastic dominance for naturally associated random polytopes. We show that for the subclass of log-concave functions and associated stochastic approximations, a similar stochastic dominance underlies the Prékopa-Leindler inequality.
In collaboration with Peter Pivovarov.
2) Soit X un espace mesuré et soit f une transformation mesurable X dans lui même préservant la mesure sur X. Partant d'un point de départ typique x, on s'intéresse à l'orbite de x par f, c'est à dire à la suite x, f(x), f(f(x)),f(f(f(x))),... Sous de faibles hypothèses, le théorème ergodique de Birkhoff prédit que cette suite va se répartir dans X selon la mesure de X. Un exemple illustratif simple est le cas où X est le cercle muni de la mesure de Lebesgue et f est une rotation irrationnelle, auquel cas quel que soit x, la suite se répartit uniformément sur le cercle. Si on s'intéresse maintenant à certaines sous suites comme par exemple la suite des carrés ou celle des nombres premiers, certains résultats de répartitions subsistent. On présentera certain de ces résultats, et en particulier un théorème difficile de Bourgain généralisant le théorème de Birkhoff dans ce contexte, dont la preuve utilise analyse fonctionnelle, analyse harmonique, théorie des nombres, probabilités...
