Le thème central et le plus important de cette thèse tourne autour du concept d'entropie. Dans une première direction, nous avons pu présenter des critères locaux pour des bornes inférieures sur la courbure entropique des espaces de graphes. En d'autres termes, nous avons pu mettre en évidence qu'une certaine inégalité globale de convexité du déplacement de l'entropie relative le long de certains géodésiques W_{1} est liée à des problèmes d'optimisation locaux. Nous soulignons l'approche globale-locale de ce travail. De plus, une courbure entropique positive produit des inégalités d'entropie de transport discrètes, des inégalités de Poincaré discrètes et des inégalités de logarithme-Sobolev modifiées. Mentionnons et soulignons trois caractéristiques de ce travail. Premièrement, nous avons pu étudier la courbure négative, qui se produit lorsque le critère fournit une borne négative. De plus, nous avons pu analyser des conditions géométriques pour la courbure positive via le théorème de Motzkin-Strauss, qui fournit des informations sur la complexité des problèmes d'optimisation nous permettant d'établir des critères concernant la courbure entropique dans certains cas particuliers. Enfin, nous avons pu étudier des perturbations avec un potentiel. C'est-à-dire, pour un espace de graphe (X, d, m, L), nous avons étudié l'espace de graphe obtenu en remplaçant m par m_{v} où m_{v} désigne la mesure dont la densité est e^{-v} par rapport à m. Ces modèles sont particulièrement intéressants pour les modèles de physique statistique tels que les modèles d'Ising, et nous avons fourni des résultats à cet égard. Dans une deuxième direction, récemment une conjecture de Tao a été prouvée pour la classe des variables aléatoires log-concaves dans Z. Nous étendons cela aux vecteurs aléatoires log-concaves dans Z^d. Plus précisément, nous avons prouvé un résultat d'approximation entre l'entropie discrète et l'entropie différentielle ainsi qu'un analogue discret d'une borne supérieure de la constante d'isotropie d'une fonction log-concave. Pour ce faire, des outils avancés de géométrie convexe tels que la constante d'isotropie ou les corps de Keith Ball étaient nécessaires.
